1대 1 대응이 되는 조건은 x가 1보다 크거나 같기만 하면 된다. 그런데, 정의역과 치역이 같다는 조건이 붙기 때문데, f(x)=x^2-2x에서 y를 x로 놓고, x=x^2-2x로 하여 정리하면 x^2-3x=0 -> x(x-3)=0 이되어, x는 3이나, 0보다 커야 하는 조건을 얻는데, 전제어서 x>=이므로 3보다 커야된다는 결론은 얻을 수 있다. 그런데, 사실 이런 수식보다는 그래프적으로 y=x축의 최우측 교점의 값이 x=3을 통해 눈으로 확인하는게 더 낫다
위의 a가 3인 이유는 크게 두가지입니다. 첫째, A--->A라는 함수라는 사실로부터 f(a)>=a인 부등식이 성립해야 한다는 것입니다. f(a)=a^2-2a이므로, a^2-2a>=a, 따라서 a^2-3a>=0 이어야 합니다. 이조건을 생각하면 a>=3 또는 a<=0 입니다.
둘째, f가 역함수를 갖는다는 사실로부터 f가 일대일함수라는 것을 알 수 있습니다. f가 일대일함수라는 조건과 f(x)=(x-1)^2-1 이라는 식으로부터 A라는 집합은 {x|x>=1} 집합의 부분집합이라는 것을 알 수 있습니다.
두가지 조건을 종합하면, a>=3 이어야 하고, 이 경우 x=a일 때 최소값 f(a)를 갖습니다.
엄밀하게 말하면, 이 문제는 a가 3이상인 모든 수는 다 됩니다. 왜냐하면 함수를 말할 때 A-->A의 함수라는 말은 A가 공역이라는 뜻이지 치역이라는 뜻이 아니기 때문입니다. 만약 A가 치역이라면, 최소값이 a와 같아져야 하므로, a^2-2a=a에서, a=0 또는 a=3. 결국 모든 조건을 만족하는 답은 a=3이라는 결론에 도달합니다.
위에서 언급들 하신 허수와 자연수는 이 문제와 큰 관련은 없으며 핵심적인 아이디어는 제가 언급한 두가지 조건 때문입니다. 이상 수학과 대학원생의 대답이었습니다.
애니메이션, <너는 특별하단다 2>를 봤다. 세상이 추구하는 가치를 '공', '상자'에 대비해 이것들을 수집하다가, 허황된 것임을 알고 진정한 가치를 찾게 된다는 내용이다. 고등학교 동창하고 이야기를 하는데, '돈을 많이 벌라'고 한다. 그는 직장인으로 세상과 대면하고 있어, 세상적인 가치에 물들어 있다. 이야기하는 내내 세상적 가치에 대해 집착하는 그를 보면서, 이런 가치에 초연할 수 있는 애니메이션을 떠올릴 수 있었다. 결혼이라던가, 세상에서 기본적으로 적으로 추구해야할 가치를 충족시키기위해서는 '공'과 '상자'에 해당하는 것들을 갖고 있어야 한다. 몇 가지를 모으고 있는데, 한 가지만 더 모으면 될 것 같은 확신 또는 착각에 사로잡혀있다. 이것을 성취하면 뭔가 또 필요한 것이 생길 것이다. 하지만, 집착하지 않고, 필요한 것을 정확히 찾아 세상에서 살아가는 필요요소를 채우는 일이 비교적 순탄하게 이루어지고 있다고 생각한다. 다른 이들에게도 허황된 세상의 가치에서 초연해 지는 법에 대해 말해줘야겠다. 이를 위해선 효과적으로 전달하기 위한 정리가 필요하겠지.
댓글 달기